C++ 高精度乘法

高精度乘法的核心

乘法比加法多一层循环，其他步骤几乎一样。核心差异就一句话：第 i 位 × 第 j 位 → 贡献到第 i+j 位。

思路拆解

读入两个字符串
反转字符串（个位对齐下标 0）
字符转数字
逐位相乘：a3[i+j] += a1[i] * a2[j]
统一处理进位（和加法一模一样）
去前导零
反转输出

完整代码（带注释）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

string a, b;

int main() {
    cin >> a >> b;

    // 1. 反转 —— 让个位对齐数组下标 0
    reverse(a.begin(), a.end());
    reverse(b.begin(), b.end());

    // 2. 乘法结果最多 a.size() + b.size() 位
    int MaxLen = a.size() + b.size();

    vector<int> a1(MaxLen + 1, 0);  // 乘数 A 的每一位
    vector<int> a2(MaxLen + 1, 0);  // 乘数 B 的每一位
    vector<int> a3(MaxLen + 1, 0);  // 结果数组

    // 3. 字符转数字
    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
        a1[i] = a[i] - '0';
    }
    for (int i = 0; i < b.size(); i++) {
        a2[i] = b[i] - '0';
    }

    // 4. 逐位相乘，先不考虑进位
    //    核心：第 i 位 × 第 j 位 → 贡献到第 i+j 位
    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < b.size(); j++) {
            a3[i + j] += a1[i] * a2[j];
        }
    }

    // 5. 统一处理进位
    for (int i = 0; i <= MaxLen; i++) {
        if (a3[i] >= 10) {
            a3[i + 1] += a3[i] / 10;  // 进位加到下一位
            a3[i] %= 10;               // 当前位只保留个位
        }
    }

    // 6. 去掉前导零
    //    比如 123 × 0 = 000，需要变成 0
    int Index = 0;
    for (int i = MaxLen; i >= 0; i--) {
        if (a3[i] != 0) {
            Index = i;
            break;
        }
    }
    a3.resize(Index + 1);

    // 7. 反转回来，输出
    reverse(a3.begin(), a3.end());
    for (int i = 0; i < a3.size(); i++) {
        cout << a3[i];
    }

    return 0;
}

运行示例

输入：
12345678901234567890
98765432109876543210

输出：
1219326311370217952237463801111263526900

常见踩坑指南

🔴 坑 1：进位循环不够长

乘法的进位值比加法大得多。比如 999...9 × 999...9，中间位累积可能上万：

位置 1998 的卷积和：81 × 2000 = 162,000  ← 不是 1，是几万！

加法进位最多 1，乘法进位可能几千上万。所以：

// ✅ 正确 —— 用 <= 多处理一轮
for (int i = 0; i <= MaxLen; i++) {  // 注意是 <=
    if (a3[i] >= 10) {
        a3[i + 1] += a3[i] / 10;
        a3[i] %= 10;
    }
}

🔴 坑 2：忘记字符转数字

和加法一样的老坑，别犯：

// ❌ 错误
a1[i] = a[i];       // 存的 ASCII 码

// ✅ 正确
a1[i] = a[i] - '0'; // 真正的数字

🟡 坑 3：前导零清不干净

乘法结果可能有多个前导零。比如 12 × 0 = 0，数组里是 [0, 0, 0, 0]，必须从高位往下扫清掉多余的零，但 至少留一位（结果就是 0 的情况）。

加法、减法、乘法对照

	加法	减法	乘法
结果位数	`max(m, n) + 1`	`m`	`m + n`
核心运算	`a3[i] = a1[i] + a2[i]`	`a3[i] = a1[i] - a2[i]`	`a3[i+j] += a1[i] * a2[j]`
循环层数	单层	单层	双层
进位/借位	`>= 10` 进位	`< 0` 借位	`>= 10` 进位（但值可能很大）
负号	不需要	✅ 需要	不需要
去前导零	最多 1 位	可能多位	可能多位

总结

高精度乘法的核心就一句话：

第 i 位 × 第 j 位 → 落在第 i+j 位 → 进位循环写 <= → 去零 → 反转